Bugün Borsa ve Finansta Matematik: Gelecek Sahiden Öngörülebilir mi?

Geleceği öngörebilmek nedir sizce?

Geleceği öngörebilmek, aslında bir vizyon meselesi olsa da (vizyon sahibi olmak ne kadar zor bir şey birbirinin kopyası insanlar arasında sadece bir dakika düşünün) işi kahve falı, günlük burçlar, sakızlardaki fallar ile sınırlı tutanlar epey çok. Her şeye magazinsel bir yol bulunuyor.

Diğer yandan, geleceği gerçekten öngörmek için gereken vizyona erişmek sancılı bir süreçtir.

Çok okumak, çok yazmak, çok hayal kurmak, çok denemek, çok hayal kırıklığı yaşamak, çok düşmek, çok yaralanmak, kendin ile defalarca kez çarpışarak kendini bulmayı umut etmek, insanları anlayabilmek, algılayabilmek tüm bunlara rağmen çoğu zaman hiç anlaşılamamak gibi çabalar sizi bekler.

Önce insanlık ile ilgili öngörülerden bahsetmemin sebebi, konuştuğumuz her konunun insanlığın elinden çıkmış olması ve onunla ilerlemeye (veya gerilemeye) devam edecek olmasıdır. Bundan sonra atılacak her adımı yine insanlık belirleyecekse, onun doğasında da öngörü sahibi olmak gerekiyor yani.

Bireysel psikolojiye değinmeden çok genel olarak insan doğasını düşününce, garanti seven yapımızın bugünkü davranışlarımızı dolayısıyla yarınlarımızı da şekillendirdiğini görürüz. Garantide hissetmedikçe kaygılı olma eğilimi vardır insanların. Gerek yaşam, gerek ilişkiler, gerek iş hayatı, gerek para-pul konuları için bir bakın etrafınıza. Kaygılı insanları izleyin. Kaygılarımız hep ‘yarın ne olacak’ içindir.

Dünyada iş bitiyor uzaya koşalım çabamız, bir ev daha satın alalım şimdiki yanar kül olursa sokakta kalmayalım dürtüsü, beni bu işten kovacaklar başka firmalarla iletişime geçeyim fikri..

Bu sezgilerimiz ile her alanda farklı şekilde baş ediyoruz.

***

Finansta ise bugünkü paranın gelecekteki durumunu anlamaya çalışanlar için nice çalışmalar yapılıyor. Vadeli ürünler ya da diğer ismi ile türev ürünler piyasasında yapıldığı gibi.

Türev piyasalarında ödemeler, ürünün teslimatı için gelecekte belirlenmiş bir tarih vardır. Tarih ise gelecek beklentilerine göre belirlenir.

Türev ürünler, gelecekte beklenen riskler için sigortalama işlevi taşır. Diğer yandan türev piyasa oyuncuları aslında geleceği öngörürlerse geleceği şimdiden fiyatlayabilirler.

Ancak spekülatörler, türev ürünlerle daha kolay pozisyon alabilir ve birçok kişi ve kurumun ciddi kayıplar yaşamasına sebep olabilir.  Yani biraz finans piyasalarının hacker’larının işini kolaylaştırır türev ürünler.

***

Peki nelerdir bu türev ürünler?

Forward, Futures (Vadeli İşlemler) ve Swap (takas) anlaşmaları ve opsiyonlardır.

Dayanak bir varlığın ileride bir tarihte, şu an belirlenmiş bir fiyattan alınıp satılması işlemleri forward işlemlerindendir. Gelecek senaryolarında yüksek riske sahip bir ülkede (veya finansal piyasada) fiyatların artış beklentisini öngörebilen bir firma için şimdiki fiyatlarla gelecekte satın alma işlemi yapmak karlı bir karardır.

(Spot piyasalarda ise şu anki fiyattan şu an alım-satım yapmak söz konusu)

Futures ve forward kontratları çok benzerler. Ancak futures kontratları kredi riski oluşmaması için yoğun bir teminatlandırma mekanizması kullanır ayrıca bireysel yatırımcılar tarafından da işlem görmektedir. (forward ürünleri genellikle kurumsal firmalarca kullanılır.)

Opsiyon kontratlarının forward sözleşmesi ve vadeli işlemden temel farkı, belirlenen vade zamanı geldiğinde işlemin gerçekleştirilmesinin bir zorunluluk olmamasıdır.

Swap iki tarafın, belirli bir vadede ve önceden belirlenmiş kurallar çerçevesinde nakit akışlarını el değiştirmesi şeklinde oluşturulan takas anlaşmasıdır. Örneğin, 5 yıl boyunca, taraflardan biri belirli bir ana para üzerinden sabit bir faiz öderken, karşı taraftan değişken (bir referans faize endekslenmiş şekilde) faiz alacaktır.

Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli

İleri finansal mühendislik varsayımları gerektiren Black-Scholes modeli hakkında Türev Araçlar, Piyasalar ve Risk Yönetimi kitabındaki örneklerden birini inceleyelim kısaca:

Black-Scholes formülünü bir opsiyon değerlemesi için kullanacağız. Örneğin, şu anki fiyatı 14 TL olan bir hisse üzerine altı ay vadeli (Avrupa tipi) bir opsiyon yazılsın. Risksiz faiz oranı yıllık %10, hissenin yıllık volatilitesi %20 olsun. Bu özelliklerdeki bir call(alım)ve put(satım) opsiyonlarını fiyatlama:

Dayanak Varlık: Hisse Senedi

s0: Dayanak varlık cari (spot) fiyatı
X: Kullanım (egzersiz) fiyatı
r: risksiz faiz oranı
q: Temettü getirisi (kur opsiyonlarında yabancı faiz oranı)
T: Vadeye kalan gün sayısı (T=1 bir yıl, T=0.5 altı ay gibi)
σ: Dayanak varlık volatilitesi (yıllık)
c: Avrupa tipi bir call opsiyon primi
p: Avrupa tipi bir put opsiyonunun primi

iki adımlı işlem ile incelemeye başlarsak:

s0: 14 TL, X: 14 TL, r: 10%, q=0%, T: 6 Ay (0.5 alınır), σ: 20%

d1 için ln (so/x) + (r+σ²/2) T ifadesini σ√T ile bölersek, yani:
ln (14/14) + (0.1 +(0.2)²/2).(0.5)’i  0.2√0.5 ile bölersek ≈ 0.42

d2 = d1 − σ√T = 0.42 − 0.2√0.5 ≈ 0.28

Burada d’lerin değerleri kümülatif normal dağılım fonksiyonu ile

N(d1)=0.66 ve N(d2)= 0.61 bulunur.

Bu iki adımlı işlem sonrasında ulaştığımız değerler ile, Avrupa tipi alım opsiyonun fiyatını bulabiliriz:
c = 14 × 0.66 − 14e^−0.1×0.5 0.61
c = 9.3 − 8.14
c = 1.15 TL

c = s0 N(d1) − Xe^-rT N(d2) (Avrupa tipi alım opsiyonu denklemi)

Dolayısıyla, 14 TL kullanım fiyatı ile, 6 ay vadeli ve yukarıdaki şartlardaki bir call opsiyonunun fiyatı Black ve Scholes formülü ile yaklaşık olarak 1.15 TL olarak bulunur ve piyasa fiyatlaması için önemlidir.

Dayanak varlıkların fiyatının artması, faiz oranlarının artması gibi etkenler call opsiyonun fiyatını artırırken put opsiyonların fiyatlarını azaltır.

Black-Scholes Modeli gerçek değeri veriyor ve opsiyonun fiyatı olması gereken değerden fazla çıkıyorsa, opsiyona sahip olan yatırımcı, opsiyonu satar. Opsiyon, daha düşük bir değere sahip ise yatırımcılar tarafından satın alınmalıdır.

Para için geleceği öngörmek zor bir mesele dostlar. Matematiksel modeller epey kullanılmakta borsada ve finansal mühendislikte. Tabi spekülatörleri de unutmayalım. Bir yanda çarkın dişlileri var diğer yanda çarkı döndürenler.

Hayatta her şeyin uç noktası insan doyumsuzluğunda çekici gelse de çok ciddi sonuçlar doğurabiliyor. Çok büyük tutkular, mutluluklar veya çok derin, onarılamaz acılar..

Her uç nokta gibi finansal piyasalarda da çok ani yükselişler, sonrasında çok büyük iflaslara ve ne kadar büyük şirketler olursanız olun adınızın tarihten silinmesine sebep olabiliyor.

Böyle düşününce, ‘neyse ki büyük başın derdine sahip değilim’ demekten alamıyor insan kendini 🙂

(konumuz devam edecek)

***

Ceren Demir

Forward ve Futures Eğrileri üzerine kısa ve anlaşılır bir video:

https://tr.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/derivative-securities/forward-futures-contracts/v/futures-and-forward-curves

Kaynaklar

https://www.bis.org/publ/qtrpdf/r_qt1709e.htm

http://www.econ.boun.edu.tr/content/old_files/ec34401/9216.pdf

https://www.quora.com/What-is-the-Black-Scholes-model-for-asset-pricing-What-are-its-advantages-and-disadvantages

Matematiksel

^[1]https://www.matematiksel.org/borsa-ve-finansta-matematik-gelecek-sahiden-ongorulebilir-mi/

About The Author

matematiksel matematiksel

See author's posts